قانون حساب حجم ومساحة الكرة – حاسبة الحجم

مسائل على حجم الكرة

نقدم لكم حاسبة حجم الكرة اون لاين بالاضافة إلى مسائل وتمارين على حجم الكرة وإثبات القانون بالتكامل. وسنتحدث عن قانون حساب الحجم الذي يعطى بالعلاقة : V = 4/3 πr³ حيث يشير الحرف V إلى الحجم (بالانكليزية Volume) و r هو نصف قطر الكرة وهو الخط الواصل بين مركز الكرة وأي نقطة على سطح الكرة الخارجي.

وكما نعرف فإن واحدة الحجم تأخذ الصيغة التكعيبية لان الحجم يمثل في الفراغ ثلاثي الأبعاد ويمكن برهنة ذلك بالقوانين. فعلى سبيل المثال إذا أعطي نصف قطر القطرة بواحدة سم (cm) فإن الحجم يكون بـ سم3 أو (cm3). وإذا أعطي بواحدة المتر (m) فإن الحجم يكون بـ م3 او (m3)

حاسبة حجم الكرة اون لاين

قوانين الكرة

قبل البدء بمسائل بسيطة عن الكرة لنتذكر بعض القوانين الهامة والأساسية للكرة:

  • حجم الكرة: Volume = 4/3 πr³
  • مساحة الكرة: Surface Area = 4πr2
  • محيط الكرة: circumference = 2πr

حيث أن محيط الكرة هو أي دائرة على سطح الكرة لها نفس مركز الكرة. أي نصف قطرها يساوي نصف قطر الدائرة بالطول.

أما قطر الدائرة هو أطول خط مستقيم يصل بين أي نقطتين على سطح الكرة ويمر من مركزها. ويساوي بكل تأكيد ضعف نصف القطر بالطول.

إثبات قانون حجم الكرة

لنحاول إثبات قانون حجم الكرة من خلال التكامل علما أنه يوجد طرق أخرى لاثبات القانون منها من خلال قانوني الاسطوانة والمخروط.

إثبات قانون حجم الكرة

أولا لنفرض لدينا الكرة التي في الصورة. ولنفرض ألقرص (أو الدائرة) الظاهر فيها على شكل شريحة مسطحة مستوية و أفقية من الكرة. حيث أن نصف قطر القرص هو x. والمثلث XZR قائم الزاوية. وكما هو واضح فإن r يمثل نصف قطر الكرة. فيكون وفقا لقانون فيثاغورث:

x2 + z2 = r2

والآن بايجاد x بدلالة z و r يكون:

x = √r2-z2

لحساب مساحة الدائرة نطبق قانون مساحة الدائرة ولكن نصف القطر هنا هو x فيكون:

A = π (√r2-z2)2 = π (r2-z2)

الآن كل ما نحتاجه هو ايجاد مساحة الكرة والتي كما هو واضح مجموع مساحة كل الدوائر او الأقراص الأفقية من الاسفل للأعلى. وإذا فرضنا مركز الدائرة هي نقطة بدء الإحداثيات. فيكون مجال التكامل الخاص بنا هو من -r إلى r في الأعلى. أي سنكامل وفقا للمحور العمودي.

إثبات قانون حجم الكرة

كيفية حل مسائل حجم الكرة

بعد أن تعلمنا أهم القوانين المتعلقة بالكرة يمكن الآن لأي شخص أن يحسب حجم الكرة أو مساحتها أو أي طلب دون اللجوء إلى حاسبة الكرة. فقط علينا تحليل المسألة وقف الخطوات التالية:

  1. تحليل البيانات أو معطيات المسألة كلها وكتابتها على ورقة جانبية.
  2. دراسة معطيات المسألة لمعرفة القيم المعلومة والقيمة المجهولة مثل حجم الكرة, القطر, نصف القطر, المساحة, المحيط..الخ
  3. ايجاد نصف قطر الدائرة. إذا كان لدينا القطر معلوم. يمكننا ايجاد نصف القطر بالتقسيم على 2.
  4. إذا علنما مساحة الكرة يمكننا حساب نصف القطر بسهولة من قانون مساحة الكرة Surface Area = 2πr2.
  5. إذا اعطينا محيط الكرة فيمننا حساب نصف القطر من علاقة المحيط circumference = 2πr.
  6. لا ننسى الانتباه لوحدات المسألة حيث نقوم بتوحيدها قبل الحل حتى لا تنتج قيما خاطئة.
  7. في النهاية بعد جمع كل المعيات اللازمة يمكننا تطبيق قانون الكرة بتعويض نصف القطر فيه وحساب النتيجة.
  8. لا ننسى كتابة واحدة الحجم في النهاية.

مسائل على حجم الكرة

المسألة الأولى

احسب حجم كرة التي نصف قطرها r = 15cm

الحل: كما أسلفنا يعطى قانون حجم الكرة بالعلاقة التالية:

V = 4/3 πr³
V = 4/3 π(15)³
V = 4/3 x π x 3375
= 14137.1669 cm3

المسألة الثانية

احسب حجم كرة إذا علمت أن محيطها 33 إنش.

الحل: نقوم اولا بكتابة قانون المحيط لنستنتج ما هي القيم التي يمكن إيجادها منه: circumference = 2πr. نلاحظ أن هذا القانون يفيدنا في إيجاد نصف القطر. نقوم بتعويض قيمة المحيط بالقانون:

circumference = 2πr
33 = 2πr
r = 33/2π
r = 5.2521 Inch

بعد أن قمنا بحساب نصف القطر يمكننا الآن بسهولة حساب حجم الكرة بتطبيق القانون بشكل مباشر والتعويض فيه.

Volume = 4/3 πr³
Volume = 4/3 π(5.2521)³
Volume = 4/3 π x 144.8768
Volume = 4/3 x 455.144
Volume = 1820.576/3
Volume = 606.858 Inch3

المسألة الثالثة

قامت إحدى الشركات بتصنيع كرة مجوفة (مفرغة من الداخل) وكانت سماكة القشرة الخارجية للكرة 0.3 سم. فإذا علمت أن قطر الكرة الكلي هو 4 سم. احسب حجم القشرة الخارجية وحجم التجويف الكروي ومساحة سطح الكرة.

الحل: لا بد وأن نتخيل شكل الكرة المجوفة قبل الحل. حيث تقوم القشرة الخارجية للكرة المجوفة بقسم الشكل الهندسي إلى كرتين متداخلتين داخلية وأخرى محيطة بها. وويكون حجم القشرة الخارجية هو حجم الكرة الكلية ذات السطح الخارجي- حجم الكرة الداخلية (التجويف الكروي).

  • القطر الكلي 4 سم وبالتالي نصف قطر الكرة الكلية = 4/2 = 2 سم.
  • يمكننا الآن حساب حجم الكرة الكلية Volumeouter = 4/3 πr³ = 4/3 π(2)³ = 33.51 cm3

الآن من أجل حساب حجم الكرة الداخلية يجب حساب نصف القطر والذي يساوي نصف القطر الكلي للكرة – سماكة القشر ة الخارجية. وبالتالي:

r’ = 2-0.3 = 1.7 cm

بتطبيق قانون حجم الكرة على الكرة الداخلية يكون:

Volumeinner = 4/3 πr’³
Volumeinner = 4/3 π(1.7)³
Volumeinner = 4/3 π(4.913)³
Volumeinner = 20.58 cm3

وهو حجم التجويف الكروي. وبالتالي يكون حجم القشرة الخارجية للكرة:

Volumecortex = Volumeouter – Volumeinner
Volumecortex = 33.51 – 20.58 = 12.93 cm3

لاحظ أن حجم القشرة يساوي تقريبا ثلث الحجم الكلي رغم أن سماكة القشرة 0.3 سم فقط وذلك لان الحير المحيطي هو ما يحتل الحجم الأكبر.

ولحساب مساحة سطح الكرة نطبق القانون: Surface Area = 4πr2 = 4π(2)2 = 16π cm2

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني.