برنامج حساب مساحة المثلث

حساب مساحة المثلث اونلاين

سنقدم لكم طريقة وبرنامج حساب مساحة المثلث اون لاين وفق برنامج خاص.هنالك مجموعة من القوانين من أجل حساب مساحة المثلث.  وسنذكر هذه القوانين بالتفصيل مع الأمثلة من أجل المثلث القائم ومتساوي الأضلاع وغير ذلك. بالاضافة إلى حساب مساحة المثلث بمعلومية أطوال أضلاعه الثلاث فقط (قانون هيرون) اوضلعين وزاوية وغير ذلك من الطرق.

اطلع على مقال حاسبة المثلث اون لاين الذي فيه برنامج لحساب كافة زوايا واضلاع المثلث ومساحته ومحيطه ومعلومات اخرى بمجرد إدخال قيم معينة بالاضافة إلى رسم المثلث في المستوي.

قانون حساب مساحة المثلث

بشكل عام يمكن حساب مساحة المثلث وفق القانون التالي:

مساحة المثلث = 0.5 القاعدة * الارتفاع

مساحة المثلث

10.5

وبقصد بالقاعدة أي ضلع من أضلاع المثلث

ويقصد بالارتفاع: الارتفاع المتعلق بتلك القاعدة حصراً, أي النازل من الرأس المقابل لتلك القاعدة عمودياً عليها.

برنامج حساب مساحة مثلث بدلالة  ضلعين وزواية

مساحة المثلث

6

يمكن حساب مساحة المثلث بمعرفة طول ضلعين فيه والزاوية بينهما

Area = ½ ab Sin C

حساب مساحة مثلث بدلالة ضلعين وزواية

مثال على ما سبق:

ليكن لدينا المثلث ABC معلوم فيه طول الضلع a = 10 وطول الضلع b = 15.والزاوية بين الضلعين السابقين تساوي 30 درجة. احسب مساحة المثلث السابق.

الحل:

  1. يمكننا بتطبيق القانون السابق حساب مساحة المثلث Area = ½ ab Sin C
  2. نعوض كلفة القيم في القانون: Area = ½ 10*15 Sin 30
  3. وبالتالي تكون: Area = 75* 0.5
  4. وتكون مساحة المثلث: Area = 37.5

برنامج حساب مساحة مثلث علم فيه زاويتين وضلع بينهما

مساحة المثلث

0.866

يمكننا حساب مساحة مثلث إذا علم لدينا قياس زاويتين فيه وطول الضلع بينهما وذلك باستخدام قانون الجيوب والذي له أشكال وصيغ كثيرة يمكننا استخدام إحداها:

area = a² * sin(β) * sin(γ) / (2 * sin(β + γ))

مثال: احسب مساحة المثلث ABC طول ضلعه c=6 وزاويتيه

Angle ∠A = 0.46049 rad = 26.384° = 26°23’4″
Angle ∠B = 0.63418 rad = 36.336° = 36°20’10”

حساب مساحة مثلث علم فيه زاويتين وضلع بينهما

الحل: بتعويض القيم في المعادلة:

area = a² * sin(b) * sin(a) / (2 * sin(b + a))
area = 6² * sin(0.63) * sin(0.46) / (2 * sin(0.63 + 0.46))
area = 36 * 0.58 * 0.44 / (2 * sin(1.094))
area = 36 * 0.58 * 0.44 / (2 * 0.888)
area = 36 * 0.58 * 0.44 / (1.77)
area =5.19

مساحة المثلث تقريبية لأننا لم نأخذ كافة القيم بعد الفاصلة والمساحة الحقيقية هي 5.332

برنامج حساب مساحة المثلث بدلالة أطوال أضلاعه (قانون هيرون)

مساحة المثلث

6

يمكننا حساب مساحة المثلث إذا علمنا اطوال أضلاعه الثلاث فقط باستخدام قانون هيرون:

حساب مساحة المثلث قانون هيرو
قانون هيرو لحساب مساحة المثلث

حيث تمثل s نصف محيط المثلث.

s = (a + b + c)/2

وبالتالي يمكن كتابة قانون هيرو بالشكل التالي:

Area = 0.25 * √( (a + b + c) * (-a + b + c) * (a – b + c) * (a + b – c) )

مثال: ليكن لدينا المثلث ABC أطوال اضلاعه a, b, c على الترتيب 10 , 3 , 9 سم. احسب مساحة المثلث وفقاً لقانون هيرون.

Time needed: 3 minutes.

حساب مساحة المثلث بمعلومية اطوال أضلاعه (وفقا لقانون هيرو)

  1. حساب نصف المحيط s

    نصف المحيط s = (a+b+c)/2 = (10+3+9) /2 = 11

  2. التعويض في قانون هيرو

    ينص قانون هيرو على: [Area = √[s(s-a)(s-b)(s-c)
    وبالتعويض نجد: [Area = √[11(11-10)(11-3)(11-9)

  3. اختصار المعادلة

    نقوم باختصار المعادلة: [Area = √[11(1)(8)(2)
    وبالتالي: Area = √176 = 13.2665

  4. كتابة الواحدة

    لا ننس كتابة الواحدات المعطاة في نص المسألة. وبالتالي تكون مساحة المثلث: Area = 13.2665 سم

حساب مساحة المثلث بدلالة أضلاعة ونصف قطر الدائرة المحيطة

مساحة المثلث

36

نصف قطر الدائرة المحيطة

6

يمكن حساب مساحة المثلث إذا علم منه اطوال أضلاعه الثلاثة ونصف قطر الدائرة الخارجية المحيطة به Circumcircle of a triangle أو المارة  برؤوس المثلث وفق القانون:

مساحة المثلث = a*b*c / 4r

Area = a*b*c / 4r

وللعلم: يمكن رسم الدائرة الخارجية المحيطة برسم متوسطات الأضلاع الثلاث. فتكون نقطة التقائها هي مركز تلك الدائرة

وبما أن قانون هيرون يعطينا مساحة المثلث بمعرفة اطوال أضلاعه الثلاث. فهذا القانون في الحقيقة سنستخدمه لحساب نصف قطر الدائرة الخارجية المارة برؤوس المثلث.

تمرين: المثلث التالي مأخوذ من موقع mathopenref.com وهو لرسم المثلث كيفما نشاء مع رسم الدائرة الخارجية المحيطة. وكما ترى فإن أطوال أضلاعه 15 و16 و 17. احسب نصف الدائرة الخارجية.

حساب مساحة المثلث بدلالة أضلاعة ونصف قطر الدائرة المحيطة

الحل: لحساب نصف قطر الدائرة الخارجية نستعين بالقانون:

Area = a*b*c / 4r

وكما نرى نحن بحاجة لحساب المساحة. لذا سنستعين بقانون هيرو في الفقرة السابقة لأن أطوال الأضلاع الثلاثة معلومة. وبعد تطبيق القانون تكون المساحة = 109.9818

الآن نعوض في القانون السابق

109.9818 = 15*16*17 / 4r

r = 4080/4*109.9819 = 9.274

وبالعودة إلى موقعنا السابق وإظهار نصف القطر نجد أن الحسابات صحيحة.

حساب مساحة المثلث بدلالة أضلاعة ونصف قطر الدائرة الخارجيةالمحيطة

وظيفة: ليكن لدينا المثلث ABC أطوال اضلاعه a, b, c على الترتيب 10 , 3 , 5 سم. وإذا علمت ان قطر الدائرة الداخلية للمثلث d = 3. احسب مساحة المثلث.

حساب مساحة المثلث بدلالة نصف المحيط ونصف قطر الدائرة الداخلية

حساب محيط المثلث بدلالة المساحة ونصف قطر الدائرة الداخلية

نستطيع حساب مساحة المثلث إذا علمنا محيطه ونصف قطر الدائرة الداخلية المماسة لأضلاعه وفقا للقانون:

مساحة المثلث =rs

حيث r نصف قطر الدائرة الداخلية وهو العمود النازل من مركز الدائرة إلى أحد أضلاع المثلث.

بينما s تمثل نصف المحيط أي (a+b+c) ÷ 2

وللعلم فإن الدائرة الداخلية هي الدائرة التي يكون مركزها نقطة التقاء المنصفات لزوايا الثلاث للمثلث.

قانون جيوشاو لحساب مساحة المثلث

ينص قانون جيوشاو على أنه يمكننا حساب مساحة المثلث بمعرفة اطوال أضلاعه فقط. ولكن القانون أكثر تعقيداً في الحساب ويعطى بالمعادلة:

حساب مساحة المثلث قانون جيوشاو
قانون جيوشاو لحساب مساحة المثلث

حساب مساحة المثلث القائم

إن كافة القوانين السابقة هي قوانين عامة ويمكن تطبيقها على كافة انواع المثلثات. إلا ان للمثلث القائمة وضع خاص مميز يمكن ان نزيد له قانون إضافي يساعدنا في حساب مساحته بدلالة الوتر والمحيط فقط.

ويعطى قانون مساحة المثلث القائمة بالعلاقة التالية:

مساحة المثلث القائم = 0.24 * (مربع المحيط – 2 * المحيط * الوتر)

Area = 0.24 * (p2 – 2 × p × Hypotenuse)

برنامج حساب مساحة المثلث متساوي الأضلاع

مساحة المثلث

16√3

وهي من أسهل الحسابات كل ما علينا معرفته لحساب مساحة المثلث متساوي الأضلاع هو طول ضلع المثلث ليكون الحساب وفق المعادلة:

area = a² * √3 / 4

وهذا القانون يمكن استنتاجه في حقيقة الأمر من معالة الجيوب أو معادلة حساب مساحة المثلث الذي علم فيه ضلعين وزاوية بينهما وهو:

area = 0.5 * a * b * sin(γ)

نحن نعلم أن كل زاوية في المثلث متساوي الأضلاع تساوي 60 درجة أو π/3 rad, ولأن كافة اﻷضلاع متساوية فإن a = b وبالتعويض بالمعادلة يكون

area = 0.5 * a * b * sin(π/3)
area = 0.5 * a 2 sqrt3 /2
area = a² * √3 / 4

مثال: ليكن لدينا المثلث متساوي الأضلاع ABC طول ضلعه 3 سم احسب مساحة المثلث
الحل:
نطبق القانون:

area = a² * √3 / 4
area = 3² * √3 / 4
area = 9√3 / 4
area = 3.897 cm